Nasce ad Alba, in provincia di Cuneo, il 1° aprile 1822. Dopo aver studiato nel locale seminario, vince un concorso per un posto gratuito nel Regio collegio delle provincie di Torino, così da poter frequentare i corsi universitari. Si laurea in lettere nel 1844 e insegna in diverse città, tra cui Novara e Voghera. Nel 1850 è dottore collegiato presso la facoltà di lettere di Torino ed inizia un'attività di saggista e di critico letterario. Dal 1853 al 1856 collabora alla Rivista contemporanea, diretta da Luigi Chiala.
È candidato alla Camera dei deputati nel novembre 1857 nel collegio di Alba, ma è sconfitto al ballottaggio da Carlo Alfieri. Nel marzo 1860 si ripresenta alle elezioni con successo e diviene deputato nella VII legislatura del Regno di Sardegna. È rieletto deputato all'indomani della proclamazione del Regno d'Italia e si colloca nello schieramento di centro-sinistra, guidato da Urbano Rattazzi.
Di nuovo deputato nel 1865 e nel 1867, il 22 marzo 1867 è eletto Vicepresidente della Camera, ma il 10 aprile diventa Ministro dell'istruzione pubblica nel II Governo Rattazzi. L'esperienza ministeriale si conclude in ottobre a causa delle dimissioni del Governo dopo i fatti di Mentana. Nel dicembre 1867 riprende l'insegnamento all'università di Torino ma, nominato rettore dello stesso ateneo, si vede annullare il mandato parlamentare (gennaio 1868) per incompatibilità tra le due cariche. Torna alla Camera nel novembre 1870 ed è rieletto nel novembre 1874, nonché in tutte le successive legislature.
Il 13 marzo 1876 è eletto Vicepresidente della Camera, ma dopo la caduta del II Governo Minghetti, il 25 marzo diventa Ministro dell'istruzione pubblica nel primo Governo della sinistra storica, guidato da Agostino Depretis, venendo confermato anche nel successivo II Governo Depretis (fino al marzo 1878). In questa veste, egli promuove l'approvazione della legge 15 luglio 1877, poi conosciuta come "legge Coppino", che rende obbligatoria e gratuita la frequenza scolastica dai sei ai nove anni e fa della scuola elementare statale ed aconfessionale uno strumento di educazione morale e civile dei cittadini.
Dal 19 dicembre 1878 al 14 luglio 1879 è ancora Ministro dell'istruzione pubblica nel III Governo Depretis. Il 13 aprile 1880 è eletto Presidente della Camera, affermandosi su Zanardelli, ma la Camera viene sciolta poco dopo (2 maggio 1880).
Il 19 marzo 1884 Coppino è eletto di nuovo Presidente della Camera, ottenendo 228 voti contro i 145 di Benedetto Cairoli. Si tratta di uno dei due casi nei quali all'elezione del Presidente della Camera non segue il suo insediamento; infatti, il 20 marzo Depretis annuncia le dimissioni del suo V Governo e, il 30 marzo, Coppino è nominato ancora una volta Ministro dell'istruzione pubblica nel VI Governo Depretis. Ricopre la medesima carica senza interruzione dal 1884 al 1888, nel VII e nell'VIII Governo Depretis nonché nel I Governo Crispi.
Fra le iniziative di questo periodo sono da ricordarsi le provvidenze economiche in favore dei maestri, l'ordinamento degli asili d'infanzia e quello dell'istruzione secondaria classica. Promuove inoltre il patrocinio dell'edizione nazionale delle opere di Galileo Galilei e l'istituzione di una cattedra dantesca a Roma. Con la legge 14 luglio 1887, sui monumenti di Roma, si pone l'obiettivo di salvaguardare la zona archeologica meridionale della città. Nel febbraio 1888, la bocciatura del disegno di legge sulla conservazione dei monumenti e degli oggetti d'arte e d'antichità, che affronta il problema della funzione dello Stato nella difesa del patrimonio artistico, determina le sue dimissioni dal Governo.
Nel 1898 è relatore del progetto di celebrazione del cinquantenario dello Statuto albertino. Negli anni della "crisi di fine secolo", si schiera con i liberali di Zanardelli e Giolitti e, rieletto plebiscitariamente nel collegio di Alba nel giugno 1900, appoggia, nei primi mesi del 1901, la nascita del Governo Zanardelli.
Muore ad Alba il 25 agosto 1901.
